Đạo hàm: độ dốc của đường cong
Trượt một điểm dọc đường cong và thu nhỏ cát tuyến cho đến khi nó thành tiếp tuyến. Độ dốc của tiếp tuyến chính là đạo hàm.
Chuẩn: HSF-IF.B.6
1Tò mò
Đồng hồ tốc độ của ô tô chỉ 60 km/h ngay tại khoảnh khắc này. Nhưng tốc độ là quãng đường chia cho thời gian, mà một khoảnh khắc thì không có chút thời gian nào. Làm sao có tốc độ tại một thời điểm?
2Khám phá
Hoạt động này cần màn hình lớn hơn
Hãy xoay ngang điện thoại, hoặc mở bài học trên máy tính bảng hay máy tính. Phần giải thích và câu hỏi bên dưới vẫn dùng được ở đây.
- Kéo P dọc theo y = x². Ở đâu độ dốc tiếp tuyến bằng 0? Ở đâu nó âm?
- Bấm Thu nhỏ h về 0 và quan sát cát tuyến màu xanh. Nó biến thành gì?
- Tại x = 1, 2 và 3 trên y = x², đọc độ dốc tiếp tuyến. Em có đoán được quy luật không?
- Bật Vẽ đồ thị độ dốc cho y = x³ − 3x. Đồ thị độ dốc cắt trục hoành ở đâu?
3Giải thích
Đường thẳng có một độ dốc
Với một đường thẳng, tỉ số giữa độ tăng theo chiều dọc và chiều ngang ở đâu cũng như nhau. Đường này đi lên 2 khi đi ngang 1: độ dốc của nó là 2.
Đạo hàm là độ dốc của tiếp tuyến: f đang thay đổi nhanh thế nào tại điểm x.
4Luyện tập
Độ dốc của cát tuyến của y = x² từ x = 2 đến x = 4 là bao nhiêu?
5Tóm tắt
- Cát tuyến cho độ dốc trung bình giữa hai điểm.
- Thu hẹp khoảng cách biến cát tuyến thành tiếp tuyến.
- Đạo hàm f′(x) là độ dốc của tiếp tuyến: tốc độ thay đổi tại một điểm.
- Đạo hàm của x² là 2x.
- Đỉnh và đáy của một đường cong trơn có đạo hàm bằng 0.