VI
Nhà khoa họcLớp 11–12⏱ 20 phút

Tích phân là diện tích

Lấp đầy diện tích dưới đường cong bằng các hình chữ nhật ngày càng hẹp và xem tổng tiến dần tới tích phân.

1Tò mò

Đồng hồ tốc độ của ô tô cho biết tốc độ ở từng thời điểm, nhưng không cho biết xe đã đi được bao xa. Nếu tốc độ cứ thay đổi, làm sao tính quãng đường? Câu trả lời là một diện tích, và công cụ để tìm nó là tích phân.

2Khám phá

Diện tích dưới đường cong

Hoạt động này cần màn hình lớn hơn

Hãy xoay ngang điện thoại, hoặc mở bài học trên máy tính bảng hay máy tính. Phần giải thích và câu hỏi bên dưới vẫn dùng được ở đây.

0123aby = x²∫30x² dxcác hình chữ nhật: 8,938diện tích chính xác: 9sai lệch 0,063SillyChili
Hàm số
Chiều cao lấy tại
Thử xem
  • Bắt đầu với 2 hình chữ nhật, rồi tăng n lên 50. Khoảng chênh giữa tổng các hình chữ nhật và diện tích chính xác thay đổi thế nào?
  • Chuyển giữa Bên trái, Điểm giữa và Bên phải. Với y = x², cách nào cho kết quả lớn quá? Cách nào nhỏ quá?
  • Thử 2x + 1. Vì sao cách lấy điểm giữa lại cho kết quả chính xác, kể cả chỉ với một hình chữ nhật?
  • Với sin x từ 0 đến π, bạn tìm được diện tích chính xác bằng bao nhiêu?

3Giải thích

3 m/s4 s3 × 4 = 12 mSillyChili
Bước 1 / 5

Quãng đường là một diện tích

Đi đều 3 m/s trong 4 s thì được 3 × 4 = 12 m. Đó chính là diện tích hình chữ nhật dưới đồ thị tốc độ – thời gian. Khi tốc độ thay đổi cũng vậy: quãng đường là diện tích dưới đồ thị.

Tích phân xác định∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi) Δx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = F(b) - F(a)

Tích phân là diện tích dưới f từ a đến b: giới hạn của tổng các hình chữ nhật, hoặc F(b) − F(a) với F là một nguyên hàm của f.

4Luyện tập

Câu 1 / 5

Một xe đạp chạy đều 5 m/s trong 6 s. Nó đi được bao xa?

m

5Tóm tắt

  • Diện tích dưới đồ thị tốc độ – thời gian là quãng đường.
  • Ước lượng diện tích bằng hình chữ nhật; hình càng hẹp thì càng chính xác.
  • Tích phân ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích chính xác, giới hạn của các tổng đó.
  • Nếu F′ = f thì ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).