La integral como área
Llena el área bajo una curva con rectángulos cada vez más delgados y mira cómo la suma se acerca a la integral.
1Pregúntate
El velocímetro de un auto muestra su rapidez en cada momento, pero no cuánto ha recorrido. Si la rapidez cambia todo el tiempo, ¿cómo calculas la distancia? La respuesta es un área, y la herramienta para hallarla es la integral.
2Explora
Esta actividad necesita una pantalla más grande
Gira el teléfono o abre esta lección en una tableta o computadora. La explicación y el cuestionario de abajo funcionan aquí.
- Empieza con 2 rectángulos y luego sube n hasta 50. ¿Qué pasa con la diferencia entre la suma de rectángulos y el área exacta?
- Cambia entre Izquierda, Mitad y Derecha. Con y = x², ¿cuál da de más? ¿Cuál da de menos?
- Prueba 2x + 1. ¿Por qué la regla de la mitad es exacta aquí, incluso con un solo rectángulo?
- Con sin x de 0 a π, ¿qué área exacta encuentras?
3Entiende
La distancia es un área
A 3 m/s constantes durante 4 s recorres 3 × 4 = 12 m. Es el área del rectángulo bajo la gráfica rapidez–tiempo. Lo mismo vale cuando la rapidez cambia: la distancia es el área bajo la gráfica.
La integral es el área bajo f de a a b: el límite de las sumas de rectángulos, o F(b) − F(a) para cualquier F con F′ = f.
4Practica
Una bici va a 5 m/s constantes durante 6 s. ¿Qué distancia recorre?
5Resumen
- El área bajo una gráfica rapidez–tiempo es la distancia.
- Estima un área con rectángulos; cuanto más delgados, mejor.
- La integral ∫ₐᵇ f(x) dx es el área exacta, el límite de esas sumas.
- Si F′ = f, entonces ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).